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正态分布函数的表示

2017-10-16 10:17

  第 2 卷第 4 期 7 21 年8月 01大学数学C L E E O L G MATHEMAT C ISV l2 , 4 o .7 №. A g2 1 u .0 1正态分布函数的表示周圣武 , 张 艳 , 韩 苗 , 索新丽 ( 中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 2 1 1 ) 216 摘 如金融衍生 产 品 定 价、 融 风 险 度 量 与 管 理 等 领 域 , 常 用 到 多 维 金 经 [ 要] 在许多金融问题的研究中, 正态分布函数 .在概率论与数理统计文献中只给出了一维标准正态分布表, 而正态分布函 数 的 计 算 问 题 没有给出具体的算法 .本文给出了正态分布函数与一维标准正态分布函数的关系式, 从而 解 决 了 多 维 正 态分布函数的计算问题 . [ 关键词] 正态分布;分布函数;协方差矩阵;正定矩阵 [ 中图分类号]O 1 1 [ 文献标识码]C [ 文章编号]1 7 - 4 4 2 1 )40 4 - 4 2 1. 6 21 5 (0 1 0 - 1 20正态分布是概率统计中重要的分布 .在 许 多 金 融 问 题 的 研 究 中,如 金 融 衍 生 产 品 定 价、 融 风 险 金123 度量与管理等领域,经常用到正态分布函数 [ , , ].当标的资产价格服从对数正态分布时, 其相应的金融衍生品的定价公式中通常就含有正态分布函数;特别是当金融衍生产品的价格由多个服从对数234 正态分布的标的变量共同驱动的情 况 下, 衍 生 产 品 的 定 价 公 式 中 就 会 出 现 多 元 正 态 分 布 函 数 [ , , ]. 该在概率论与数理统计文献中只给出了一维标准正态分布表, 而正态分 布 函 数 的 计 算 问 题 没 有 给 出 从 具体的算法 .本文研究如何用一维标准正态 分 布 函 数 来 表 示 多 维 正 态 分 布 函 数, 而 解 决 多 维 正 态 分 布函数的计算问题 .1 标准正态分布函数的表示6 考虑 n 维标准正态随机向量 [ ] = ( 1 , 2 , Xn ) ~ N( , ), X X X …, T O Σ 其中 0= ( , , 0 T 为n 维零 0 0 …, ) 向量, 协方差矩阵 Σ = (i n×n 为正定矩阵, i =1 i=1, , n) . 的概率密度为 2 …, X σj ) σi (( x …, n = 2 - dt - - x Σ x π f 1 , 2 , x ) ( ) 2 (e Σ) 2e 2 X 的分布函数为n11 T - 1x, = ( 1 , 2 , x ) ∈ Rn . x x x …, n T1 1 T - 1(1 1. )F(1 ,2 , a ) a a …,n =2 ∫ (π)D-2n(e Σ) 2e 2x Σ dt - -xd , x(2 1. )其中 d =d 1d 2 …d n , = ( 1 ,2 , a ) ∈ Rn , = { 1 ≤ a , 2 ≤ a , x ≤ a } . x x x x a a a …,n T D xx 1 x 2 …, n n 1. n 维标准正态随机向量 X ~ N( , )的分布函数可表示为 1 OΣ ( a …,n = (1 Nc (n F1 ,2 , a ) Nc ) (2 )…Nc ) , a 其中 N ( )= xx(3 1. )1 1 e d 为 一 维 标 准 正 态 分 布 函 数,c = (1 ,2 , c ) = Λ- 2 QT , t c c …,n T a 2 槡π 满足 QT Q=Λ. (=1 2 …, 是 igλ λ …,n ,i Λ=da (1 ,2 , λ )λ >0i , , n) Σ 的特征值, 是n 阶正交矩阵, Σ Q [] 5 T 证 由于 X 的协方差矩阵 Σ 是正定矩阵, 因此由矩阵理论 知, 存在 n 阶正交阵 Q, 使得 Q Σ =Λ, Q∫2 t -2-∞其中Λ=da (1 ,2 , λ )λ >0i , , n) Σ 的特征值 .于是 (=1 2 …, 是 igλ λ …,n ,i收稿日期]2 0 - 11 0 81 - 1 [ 基金项目] 中央高校基本科研业务费专项资金(G 1 1 7 ) 国家自然科学基金(1 0 0 9 J K 067 ; 6058 ) [ 第 4 期 周圣武, 正态分布函数的表示 等:1 T - 1 1 T Σ- = (Λ ) =Q - . Λ Q QQ13 4 (4 1. )作正交变换T T y= ( 1 ,2 , y ) =Q x , y y …,n 并记 b = (1 ,2 , b ) = QT ,D1 = { 1 ≤b ,2 ≤b , y ≤b } , 意 到 Q 是 正 交 矩 阵, 注 b b …,n T a yy 1 y 2 …,n n 于是由式( 2 和式( 4 得 dtQ =1, e 1. ) 1. )F(1 ,2 , a ) a a …,n =再作正交变换2 ∫ (π)D 1-2n(e Σ) 2e 2y Λ yd . dt - - y11 T - 1(5 1. )z= (1 ,2 , z ) =Λ-2y, y=Λ2z, z z …,n T其中 Λ2 =da ( λ , λ , 槡 n ) , -2 =da ig 槡 1 槡 2 …, λ ig Λ/1 1111 , 1 ,…, 1 烌 , 则 λ λ λ 烆槡 1 槡2 槡n烎烄/1 d = (e Λ) 2d = (e Σ) 2d . z dt 1 z y dt记c= (1 ,2 , c ) =Λ-2b=Λ-2QT , 2 = { 1 ≤c ,2 ≤c , z ≤c } , 由式( 5 可得 维标 c c …,n T a D zz 1. ) n 1 z 2 …,n n 准正态随机向量 X 的分布函数为11F(1 ,2 , a ) a a …,n =∫ = ∫c 1D 2( ) 2 (e Σ) 2e 2z z (e Σ)2d = 2 - dt - - dt z π2 z 1 -2n11 T1∫D 2( ) 2e 2z zd 2 - - z π2n1 T1 1 e d1 z e d 2… z -∞ -∞ 2 2 槡π 槡π ( N( ( c c c =N1 ) 2 )…Nn ) .∫c 22 z 2 -2∫c n-∞1 -zn e 2d n z 2 槡π (6 1. )2 一般正态分布函数的表示6 T 现在考虑更一般的情况, 对于 n 维正态随机向量 [ ] ~ N( , ), X μ Σ 其中 μ = ( 1 , 2 , μ ) 协方差 μ μ …,n矩阵 Σ = (i n×n 是正定矩阵 .令 σj )X1 -μ1 , X2 -μ2 , …, Xn -μ , n (1 Y Y 2. ) 2= n= σ1 σ2 σ 槡1 槡2 槡 nn 则 n 维随机向量 Y = ( 1 , 2 , Yn ) 服 从 标 准 正 态 分 布, Y ~ N( , ),其 中 Y 的 协 方 差 矩 阵 即 Y Y …, T 0 ′ Σ , , n) .仿照前面的推导, …, 可得 X 的分布函数 .记 ( ′ σ j) ′ Σ = ( i n×n 为正定矩阵,′ =1i=1 2 σi i Y1 = a* =1 2a - - …, - d d …, (a槡 μ , 槡 μ , a槡 μ ) ,d= ( , , d ) =Λ σ σ σ1 1 2 2TnnT12n-21T * Qa ,1 12 2n n( 其中 Λ =da ( λ , λ , 槡 n ) , i > 0i=1, , n) 是Σ 的特征 值, 是n 阶 正 交 矩 阵, 足 满 ig 槡 1 槡 2 …, λ 2 …, ′ λ QT Q Q Σ =Λ .于是 n 维正态随机向量 X 的分布函数为 F(1 ,2 , a ) 1 ≤ a ,X2 ≤ a ,…,Xn ≤ a } a a …,n =P{ X 1 2 na -μ1 , a -μ2 , 1 2 n n …, n ≤ a -μ Y2 ≤ Y σ1 σ2 σ 槡1 槡2 槡 nn ( N( ( d d d =N1 ) 2 )…Nn ),=P Y1 ≤ {}(2 2. )其中 a= ( 1 ,2 , a ) ∈ R . a a …,nT n3 二维标准正态分布函数的表示作 为 特 例, 在 考 虑 二 维 标 准 正 态 分 布 函 数 的 表 示 问 题 . 对 于 二 维 标 准 正 态 随 机 向 量 现 ( , )~ N( , , , , ) ( , ) 的概率密度为 XY 0 0 1 1ρ , X Y2 2 ( -μ )( -μ ) ( -μ ) 燄 y x x 1 1 y 2 2 1 -1 熿( -μ ) , xy = ep x -2 + f( , ) 2 2 ρ 2 2 σσ 2( ρ )燀 σ 1- 1 2 σ 1 2 燅 2 槡 ρ σσ π 1- 1 2 (1 3. ){} 14 4大 学 数 学 第 2 卷 7其中 -1<ρ < 1.记 ( , ) 的分布函数为 M (1 ,2 , ), XY a a ρ 即M (1 ,2 , ) a a ρ =关于 M (1 ,2 , )的计算问题, 我们有下面的结论: a a ρ烄( y) y x d a ∫∫ f ,xd ,a , ∈ R .1 2 -∞ -∞a 1a 2(2 3. ) 3. 二维标准正态随机向量 ( , ) 的分布函数 M (1 ,2 , )可表示为 1 XY a a ρM (1 ,2 , ) N a a ρ =a +a 烌 烄 a -a 烌 1 2 1 2 N 1+ 1- 槡 ρ)烎 烆 2( ρ)烎 槡 烆 2(烄 1- a 烄 2- a 烌 a ρ1 a ρ 2烌 N (1 ) a N . 2 = 2 槡 ρ烎 槡 ρ烎 烆 1- 烆 1-a N =N ( 2 )证 ( , ) 的协方差矩阵Σ = XY烄 1(3 3. )烌 ρ 为正定矩阵, 它的两个特征值分别为 1+ρ 和 1-ρ , 其对应 烆 烎 ρ 1 T T 于是 的单位特征向量分别为ξ = (/槡 ,/槡 ) 和ξ2 = (/槡 , /槡 ) , 1 21 2 1 2 -1 2 1Λ=烄 1+ 烆烄/ 0 烌 1 槡 2 1 槡 烌 /2 ρ , Q = , 0 1-ρ 烎 /2 1 2 -1 槡烎 烆 /槡 烄烌 1 ( a +a ) 1 2 1+ 1 1 槡 ρ c=Λ-2QT = a . 1 ( 2 槡 a -a ) 1 2 槡 ρ 烆 1- 烎从而由式( 3 可得 1. )M (1 ,2 , ) N a a ρ =式( 4 的积分形式为 3. )a +a 烌 烄 a -a 烌 1 2 1 2 N . ( ρ)烎 烆 2( ρ)烎 1- 槡 槡 烆 21+烄a +2 a 1 a -2 a 121 ρ 槡 (- ) + 1 -x22y2 e dd . xy 2 π(4 3. )M (1 ,2 , ) a a ρ =作正交变换∫ ∫-∞21 ρ 槡 (+ )(5 3. )-∞u=槡21+ρ 1-ρ , 1-ρ 1+ρ , x- x+ y v= y 2 2 2槡槡槡则 d d =d d ,于是 ( , ) 的分布函数为 x y uv XYM (1 ,2 , ) a a ρ = 同理可得∫a 2-∞1 -u2 e 2d u 2 槡πa -a 1 ρ21ρ 槡- 2∫-∞烄 1- a 烌 a ρ2 1 -v2 e 2 d =N ( 2 ) v a N . 2 槡 ρ烎 烆 1- 2 槡π(6 3. )M (1 ,2 , ) N ( 1 ) a a ρ = a N特别地, X 与Y 相互时, =0, 当 此时有 ρa ρ 1烌 . 2 1-ρ 烎 烆 槡烄 2- a(7 3. )M (1 ,2 , ) N ( 1 ) ( 2 ) . a a ρ = a Na 3 由 3. 可得下面的一个有用的推论: 推论 3. M (1 ,2 , ) N ( 1 ) M1 , a , ρ) . 1 a a ρ = a - ( - 2 - a证 由式( 2 可得 3. )熿 烄 a - a 烌燄 a 2 ρ 1烌 ρ1 N ( 1 ) 1- N - a 2 = 2 1-ρ 烎燅 槡 ρ烎 烆 1- 燀 烆 槡 烄 a -( a - 2 -ρ) 1烌 a - a N =N ( 1 ) N ( 1 ) 2 1-ρ 槡 烆 烎 a - ( - 2 - a =N ( 1 ) M1 , a , ρ) . 烄 2- a(8 3. )M (1 ,2 , ) N ( 1 ) a a ρ = a N(9 3. ) 第 4 期 周圣武, 正态分布函数的表示 等:15 4[ 考 文 献] 参[ ] o nC u .O t n , uuen teea veui e [ ] :大学出版社, 0 9:0 1 J h H l pi s ftrsa dohrdrt escris M . l o i t 2 0 5 7-5 0. 5 [ ] a ulAmm n . : 大学出版社, 0 4:6 2 M n e a n 信用风险评估—方法·模型·应用[ ] 杨玉明译 . M . 2 0 1 3-1 8. 9 [ ] ee l n Mc al nl . r igvlealuo enot n h nteot n sp yf cnicesh s f 3 PtrKe , ihe Ig s Pi n unrbeE rpa pi s w eh pi ’a of anraeter ko i c o o i i f a c l i rs [] unl fB nig & Fn ne 2 0 , 5 5 :9 i ni s esJJ ra a kn ia c . 0 1 2 ( )9 3-1 1 n adt o o 0 2. [ ] 陈松男 .金融工程学[ ] 上海: 复旦大学出版社, 0 2:3 4 M . 2 0 1 7-1 8. 4 [ ] 江龙,魏兵 .线性代数[ ] 徐州: 中国矿业大学出版社, 0 4:8 5 M . 2 0 1 7-2 5. 0 [ ] 周圣武, 周长新, 李金玉 . 概率论与数理统计[ ] : 煤炭工业出版社, 0 7:1-8 6 M . 20 6 7.E pes nf M l - i es nlN r ai rbt nF nt n x rs oso u i m ni ao m lDs iu o u c o i td o t i iZHO e g- u, ZHANG n, HAN a , S O n-i US n w h Y a M o U X l i i(o eeoc ne , hn nvri f M nn T c nlg , uh u2 1 1 ,hn ) C l g Si c C ia U ies yo iig & eh oo y X z o 2 1 6 C ia l f e t c A s at I a yrsac eftef a c lpol m , uhaeia veui er igter ,ia c lr k bt c : n m n eerhsoh n ni rbe s sc sdr t escrispi nhoy f ni i r i a vi t n a s a o td o n dtb o f i a o it r m auea d m n g m nn n m l - i es nl o m l i r uin u c o s r tnue . u e eeecs esrn a a e et ds o , u i m ni a r a s i t nt n e fe sd B t n h frne i orb bi n a s c ,h nyo edm ninl tn adnr a sr uin al a vna d hr ’os eic fPo ait a dS t t s te ln - i es a sa dr o m l i i t bew sg e n eesn pci ly t ii o o dtb o t t f td o n dtb o i ao o t agr h b u u i i es nl o m l i r uinf nt n . ntia e , he t nl x rsinbt en m l - loi m a otm l - m ni a r a s i t u c o s Ihsp pr terl i a e pes ew e u i t dm ninl o m l i r uinf nt na do edm ninl tn adnr a sr uinf nt n w sgvn h ste i es a r a s i t u c o n n - i es a sa dr o m ld t b t u c o aie .T uh o n dtb o i o i i o i td o n dtb o i c m ua o arbe sa otm l - i es nl o m l i r uinf nt ncnbovd o p tt nl ol m b u u i m ni a r a s i t u c o a esle . i p K yw rs nr a sr uin di r uinf nt n cvr ne m t x p s iedf i ar e od : o m l i i t ; s t b t u c o ; o ai c ar ;oi v - e n e m t x dtb o si o i a i t it i

  正态分布函数的表示_数学_自然科学_专业资料。第 2 卷第 4 期 7 21 年8月 01大学数学C L E E O L G MATHEMAT C ISV l2 , 4 o .7 №. A g2 1 u .0 1正态